u

doc/main.tex

@@ -1,37 +1,121 @@
 \documentclass{article}
 \usepackage{amsmath}
+\usepackage[utf8]{inputenc}    % Kodowanie UTF-8
+\usepackage[T1]{fontenc}       % Kodowanie fontów (polskie ogonki)
+\usepackage[polish]{babel}     % Ustawienia języka polskiego
 
 \begin{document}
 
-The velocity of the mass as a function of time \( t \) is described by the equation:
+\textbf{Treść zadania:}  
+Na wykresie przedstawiono zależność składowej pionowej prędkości \( v_y \) w funkcji czasu \( t \).  
+Określ równanie opisujące tę zależność i użyj go do analizy ruchu.  
+Przyjmij uproszczony model zjawiska.
 
+\bigskip
+
+\textbf{Równanie funkcji:}  
 \[
-v(t) = v_{\text{max}} \cdot \sin(\omega t + \phi)
+v_y(t) = A \sin(\omega t + \varphi)
 \]
 
-where:
+gdzie:
 \begin{itemize}
-    \item \( v_{\text{max}} \) is the maximum velocity (amplitude of velocity),
+    \item \( A \) – amplituda drgań (maksymalna wartość \( v_y \)),
-    \item \( \omega \) is the angular frequency of the oscillations,
+    \item \( \omega \) – pulsacja,
-    \item \( \phi \) is the initial phase.
+    \item \( \varphi \) – faza początkowa,
+    \item \( t \) – czas.
 \end{itemize}
 
-The angular frequency \( \omega \) is related to the period \( T \) by the formula:
+
+\section{Wyznaczenie parametrów ruchu}
+
+\subsection{Amplituda \( A \)}
+
+Amplituda to maksymalna wartość prędkości \( v_y \) w funkcji czasu.  
+Z wykresu odczytujemy, że największa wartość prędkości wynosi:
 
 \[
-\omega = \frac{2\pi}{T}
+A = 0.6 \text{ m/s}
 \]
 
-For a period \( T = 0.4 \) seconds:
+\subsection{Okres \( T \)}
+
+Okres to czas trwania jednego pełnego cyklu. Analizując wykres, zauważamy, że funkcja powtarza się co:
 
 \[
-\omega = \frac{2\pi}{0.4} = 5\pi \, \text{rad/s}
+T = 0.4 \text{ s}
 \]
 
-If the mass starts moving from the equilibrium position with an upward velocity, the initial phase \( \phi \) is 0. Then, the velocity equation becomes:
+\subsection{Częstotliwość \( f \)}
+
+Częstotliwość to odwrotność okresu:
 
 \[
-v(t) = 0.8 \cdot \sin(5\pi t)
+f = \frac{1}{T} = \frac{1}{0.4} = 2.5 \text{ Hz}
 \]
 
+\subsection{Uzasadnienie wyboru parametrów}
+
+Z wykresu \( v_y(t) \) możemy odczytać te parametry, ponieważ ruch opisany jest funkcją sinusoidalną. Prędkość w ruchu harmonicznym ma postać:
+
+\[
+v_y(t) = A \sin(\omega t + \varphi)
+\]
+
+gdzie:
+- Amplituda \( A \) to maksymalna wartość prędkości,
+- Okres \( T \) to czas jednego pełnego cyklu sinusoidy,
+- Częstotliwość \( f \) jest związana z okresem wzorem \( f = \frac{1}{T} \).
+
+Analizując kolejne maksima i zera funkcji na wykresie, możemy jednoznacznie wyznaczyć te wielkości.
+
+Aby wyznaczyć funkcję położenia \( x(t) \) w ruchu harmonicznym, korzystamy z zależności między prędkością a położeniem. 
+
+Dane z wykresu prędkości \( v_y(t) \):
+- Amplituda prędkości: \( A_v = 0.6 \) m/s
+- Okres: \( T = 0.4 \) s
+- Częstotliwość: \( f = 2.5 \) Hz
+- Pulsacja: \( \omega = 2\pi f = 5\pi \) rad/s
+- Faza początkowa: \( \varphi = 0 \)
+
+Równanie prędkości ma postać:
+\[
+v_y(t) = A_v \sin(\omega t)
+\]
+Aby znaleźć położenie \( x(t) \), całkujemy funkcję prędkości:
+\[
+x(t) = \int v_y(t) dt = \int A_v \sin(\omega t) dt
+\]
+Wynik całkowania daje:
+\[
+x(t) = -\frac{A_v}{\omega} \cos(\omega t) + C
+\]
+Podstawiając wartości liczbowe:
+\[
+x(t) = -\frac{0.6}{5\pi} \cos(5\pi t) + C
+\]
+\[
+x(t) = -0.0382 \cos(5\pi t) + C
+\]
+Stała całkowania \( C \) zależy od warunków początkowych, które musimy określić na podstawie ruchu.
+
+\subsection{Obliczenia stałej całkowania}
+Aby wyznaczyć stałą całkowania \( C \), analizujemy warunki początkowe. Zakładamy, że dla \( t = 0 \) położenie wynosi \( x(0) = x_0 \). Podstawiając do równania:
+\[
+x_0 = -0.0382 \cos(0) + C
+\]
+\[
+x_0 = -0.0382 (1) + C
+\]
+\[
+x_0 = -0.0382 + C
+\]
+Zatem:
+\[
+C = x_0 + 0.0382
+\]
+Wartość \( x_0 \) należy określić na podstawie warunków zadania.
+
+
+
 \end{document}

py/2.py

@@ -0,0 +1,28 @@
+import numpy as np
+import matplotlib.pyplot as plt
+
+# Parametry ruchu harmonicznego
+A_v = 0.6  # Amplituda prędkości (m/s)
+T = 0.4  # Okres (s)
+f = 1 / T  # Częstotliwość (Hz)
+omega = 2 * np.pi * f  # Pulsacja (rad/s)
+C = 0  # Przyjmujemy C = 0 dla uproszczenia
+
+# Funkcja x(t)
+def x_t(t):
+    return (-A_v / omega) * np.cos(omega * t) + C
+
+# Przedział czasu
+t = np.linspace(0, 1, 1000)  # 1 sekunda ruchu
+x = x_t(t)
+
+# Wykres funkcji x(t)
+plt.figure(figsize=(8, 5))
+plt.plot(t, x, label="$x(t) = -0.0382 \cos(5\pi t) + C$", color='b')
+plt.xlabel("Czas [s]")
+plt.ylabel("Położenie x(t) [m]")
+plt.title("Wykres funkcji położenia x(t)")
+plt.legend()
+plt.grid()
+plt.show()
+