\documentclass{article}
\usepackage{amsmath}
\usepackage[utf8]{inputenc}    % Kodowanie UTF-8
\usepackage[T1]{fontenc}       % Kodowanie fontów (polskie ogonki)
\usepackage[polish]{babel}     % Ustawienia języka polskiego

\begin{document}

\textbf{Treść zadania:}  
Na wykresie przedstawiono zależność składowej pionowej prędkości \( v_y \) w funkcji czasu \( t \).  
Określ równanie opisujące tę zależność i użyj go do analizy ruchu.  
Przyjmij uproszczony model zjawiska.

\bigskip

\textbf{Równanie funkcji:}  
\[
v_y(t) = A \sin(\omega t + \varphi)
\]

gdzie:
\begin{itemize}
    \item \( A \) – amplituda drgań (maksymalna wartość \( v_y \)),
    \item \( \omega \) – pulsacja,
    \item \( \varphi \) – faza początkowa,
    \item \( t \) – czas.
\end{itemize}


\section{Wyznaczenie parametrów ruchu}

\subsection{Amplituda \( A \)}

Amplituda to maksymalna wartość prędkości \( v_y \) w funkcji czasu.  
Z wykresu odczytujemy, że największa wartość prędkości wynosi:

\[
A = 0.6 \text{ m/s}
\]

\subsection{Okres \( T \)}

Okres to czas trwania jednego pełnego cyklu. Analizując wykres, zauważamy, że funkcja powtarza się co:

\[
T = 0.4 \text{ s}
\]

\subsection{Częstotliwość \( f \)}

Częstotliwość to odwrotność okresu:

\[
f = \frac{1}{T} = \frac{1}{0.4} = 2.5 \text{ Hz}
\]

\subsection{Uzasadnienie wyboru parametrów}

Z wykresu \( v_y(t) \) możemy odczytać te parametry, ponieważ ruch opisany jest funkcją sinusoidalną. Prędkość w ruchu harmonicznym ma postać:

\[
v_y(t) = A \sin(\omega t + \varphi)
\]

gdzie:
- Amplituda \( A \) to maksymalna wartość prędkości,
- Okres \( T \) to czas jednego pełnego cyklu sinusoidy,
- Częstotliwość \( f \) jest związana z okresem wzorem \( f = \frac{1}{T} \).

Analizując kolejne maksima i zera funkcji na wykresie, możemy jednoznacznie wyznaczyć te wielkości.

Aby wyznaczyć funkcję położenia \( x(t) \) w ruchu harmonicznym, korzystamy z zależności między prędkością a położeniem. 

Dane z wykresu prędkości \( v_y(t) \):
- Amplituda prędkości: \( A_v = 0.6 \) m/s
- Okres: \( T = 0.4 \) s
- Częstotliwość: \( f = 2.5 \) Hz
- Pulsacja: \( \omega = 2\pi f = 5\pi \) rad/s
- Faza początkowa: \( \varphi = 0 \)

Równanie prędkości ma postać:
\[
v_y(t) = A_v \sin(\omega t)
\]
Aby znaleźć położenie \( x(t) \), całkujemy funkcję prędkości:
\[
x(t) = \int v_y(t) dt = \int A_v \sin(\omega t) dt
\]
Wynik całkowania daje:
\[
x(t) = -\frac{A_v}{\omega} \cos(\omega t) + C
\]
Podstawiając wartości liczbowe:
\[
x(t) = -\frac{0.6}{5\pi} \cos(5\pi t) + C
\]
\[
x(t) = -0.0382 \cos(5\pi t) + C
\]
Stała całkowania \( C \) zależy od warunków początkowych, które musimy określić na podstawie ruchu.

\subsection{Obliczenia stałej całkowania}
Aby wyznaczyć stałą całkowania \( C \), analizujemy warunki początkowe. Zakładamy, że dla \( t = 0 \) położenie wynosi \( x(0) = x_0 \). Podstawiając do równania:
\[
x_0 = -0.0382 \cos(0) + C
\]
\[
x_0 = -0.0382 (1) + C
\]
\[
x_0 = -0.0382 + C
\]
Zatem:
\[
C = x_0 + 0.0382
\]
Wartość \( x_0 \) należy określić na podstawie warunków zadania.



\end{document}
