122 lines
3.1 KiB
TeX
122 lines
3.1 KiB
TeX
\documentclass{article}
|
||
\usepackage{amsmath}
|
||
\usepackage[utf8]{inputenc} % Kodowanie UTF-8
|
||
\usepackage[T1]{fontenc} % Kodowanie fontów (polskie ogonki)
|
||
\usepackage[polish]{babel} % Ustawienia języka polskiego
|
||
|
||
\begin{document}
|
||
|
||
\textbf{Treść zadania:}
|
||
Na wykresie przedstawiono zależność składowej pionowej prędkości \( v_y \) w funkcji czasu \( t \).
|
||
Określ równanie opisujące tę zależność i użyj go do analizy ruchu.
|
||
Przyjmij uproszczony model zjawiska.
|
||
|
||
\bigskip
|
||
|
||
\textbf{Równanie funkcji:}
|
||
\[
|
||
v_y(t) = A \sin(\omega t + \varphi)
|
||
\]
|
||
|
||
gdzie:
|
||
\begin{itemize}
|
||
\item \( A \) – amplituda drgań (maksymalna wartość \( v_y \)),
|
||
\item \( \omega \) – pulsacja,
|
||
\item \( \varphi \) – faza początkowa,
|
||
\item \( t \) – czas.
|
||
\end{itemize}
|
||
|
||
|
||
\section{Wyznaczenie parametrów ruchu}
|
||
|
||
\subsection{Amplituda \( A \)}
|
||
|
||
Amplituda to maksymalna wartość prędkości \( v_y \) w funkcji czasu.
|
||
Z wykresu odczytujemy, że największa wartość prędkości wynosi:
|
||
|
||
\[
|
||
A = 0.6 \text{ m/s}
|
||
\]
|
||
|
||
\subsection{Okres \( T \)}
|
||
|
||
Okres to czas trwania jednego pełnego cyklu. Analizując wykres, zauważamy, że funkcja powtarza się co:
|
||
|
||
\[
|
||
T = 0.4 \text{ s}
|
||
\]
|
||
|
||
\subsection{Częstotliwość \( f \)}
|
||
|
||
Częstotliwość to odwrotność okresu:
|
||
|
||
\[
|
||
f = \frac{1}{T} = \frac{1}{0.4} = 2.5 \text{ Hz}
|
||
\]
|
||
|
||
\subsection{Uzasadnienie wyboru parametrów}
|
||
|
||
Z wykresu \( v_y(t) \) możemy odczytać te parametry, ponieważ ruch opisany jest funkcją sinusoidalną. Prędkość w ruchu harmonicznym ma postać:
|
||
|
||
\[
|
||
v_y(t) = A \sin(\omega t + \varphi)
|
||
\]
|
||
|
||
gdzie:
|
||
- Amplituda \( A \) to maksymalna wartość prędkości,
|
||
- Okres \( T \) to czas jednego pełnego cyklu sinusoidy,
|
||
- Częstotliwość \( f \) jest związana z okresem wzorem \( f = \frac{1}{T} \).
|
||
|
||
Analizując kolejne maksima i zera funkcji na wykresie, możemy jednoznacznie wyznaczyć te wielkości.
|
||
|
||
Aby wyznaczyć funkcję położenia \( x(t) \) w ruchu harmonicznym, korzystamy z zależności między prędkością a położeniem.
|
||
|
||
Dane z wykresu prędkości \( v_y(t) \):
|
||
- Amplituda prędkości: \( A_v = 0.6 \) m/s
|
||
- Okres: \( T = 0.4 \) s
|
||
- Częstotliwość: \( f = 2.5 \) Hz
|
||
- Pulsacja: \( \omega = 2\pi f = 5\pi \) rad/s
|
||
- Faza początkowa: \( \varphi = 0 \)
|
||
|
||
Równanie prędkości ma postać:
|
||
\[
|
||
v_y(t) = A_v \sin(\omega t)
|
||
\]
|
||
Aby znaleźć położenie \( x(t) \), całkujemy funkcję prędkości:
|
||
\[
|
||
x(t) = \int v_y(t) dt = \int A_v \sin(\omega t) dt
|
||
\]
|
||
Wynik całkowania daje:
|
||
\[
|
||
x(t) = -\frac{A_v}{\omega} \cos(\omega t) + C
|
||
\]
|
||
Podstawiając wartości liczbowe:
|
||
\[
|
||
x(t) = -\frac{0.6}{5\pi} \cos(5\pi t) + C
|
||
\]
|
||
\[
|
||
x(t) = -0.0382 \cos(5\pi t) + C
|
||
\]
|
||
Stała całkowania \( C \) zależy od warunków początkowych, które musimy określić na podstawie ruchu.
|
||
|
||
\subsection{Obliczenia stałej całkowania}
|
||
Aby wyznaczyć stałą całkowania \( C \), analizujemy warunki początkowe. Zakładamy, że dla \( t = 0 \) położenie wynosi \( x(0) = x_0 \). Podstawiając do równania:
|
||
\[
|
||
x_0 = -0.0382 \cos(0) + C
|
||
\]
|
||
\[
|
||
x_0 = -0.0382 (1) + C
|
||
\]
|
||
\[
|
||
x_0 = -0.0382 + C
|
||
\]
|
||
Zatem:
|
||
\[
|
||
C = x_0 + 0.0382
|
||
\]
|
||
Wartość \( x_0 \) należy określić na podstawie warunków zadania.
|
||
|
||
|
||
|
||
\end{document}
|